Játékos statisztikai átlagszámítás: Középértékek és Adateloszlások felfedezése

A hétköznapi beszédben az átlagos fogalmát általában valami egészen megszokottra, tipikusra, nem kiemelkedőre vagy kirívóra használjuk. Bizonyos esetekben akár negatív értelemben, csalódásunk kifejezésére is használhatjuk, hogy jelezzük, hogy valami nem volt túl jó vagy nagy durranás, lehetett volna jobb is. Ez alatt mégsem azt értjük, hogy valami rossz volt, hanem inkább azt, hogy semleges.

A matematikában és statisztikában azonban a különböző átlagértékek alapvető fontosságúak az adatok elemzésében. A matematikai átlagokat az adathalmazok elemzésére használják, amellyel lényegében több értéket összegeznek egy értékben, hogy jobban értelmezhessék és megértsék, hogy mit jelent az adott adatsor, számsor. Ezért is érdemes ismerni az alapvető statisztikai mutatókat, például a számtani közép (átlag), a medián és a módusz számítását, valamint azt is, hogy mikor melyiket érdemes használni, és milyen előnyeik vagy korlátaik lehetnek. A számtani közép, módusz és medián mind más megközelítéssel segít az adathalmazok elemzésében.

Interaktív Tanulás a Statisztikában: Egy játékos megközelítés

A statisztikai fogalmak elsajátítása lehet szórakoztató és interaktív. Egy játékos alkalmazás segítségével a diákok és érdeklődők könnyedén becsülhetik meg a megadott adathalmaz átlagát, mediánját, terjedelmét, átlagtól való átlagos eltérését, és szórását. Az első lapon kell kiválasztani az adatok számát, és azt, hogy a számok melyik intervallumból legyenek. A számok csak nem negatív egészek lehetnek.

A többi oldal mindegyikén a beviteli mezőbe kell beírni a megoldásokat, majd a kész gombra kell kattintani. A következő feladatra a nyíl gomb segítségével lehet eljutni, de csak ha kitöltöttük az aktuális feladatot. Az egyes feladatoknál segítséget is lehet kérni, azonban ilyenkor kevesebb pontot kaphatunk a helyes megoldásunkra. A feladatok megoldása után egy értékelést kapunk a feladatok megoldásáról. Miután beállítottad, hogy milyen számkörből és milyen terjedelemben szeretnél adatokat, öt egymást követő feladatot kapsz.

A játékos alkalmazás különösen figyelembe veszi a kerekítési pontosságot. Mivel az alkalmazás kerekíti az adatok átlagtól való abszolút eltérését, ezért vizsgáltatni lehet a valódi eltérések és a kerekített eltérések különbségét. Érdemes kerestetni 10 olyan számot, ahol nagy különbség van a valódi abszolút eltérések és a kerekített abszolút eltérések különbsége között. Hasonlóképpen, vizsgáltatni lehet a valódi eltérések négyzeteinek és a kerekített eltérések négyzeteinek különbségét, és érdemes kerestetni 10 olyan számot, ahol nagy a különbség. Az átlagtól vett átlagos abszolút eltérés és a szórás esetén az „Adatok eltérése az átlagtól” segítség esetén az eltérések mindig egész számra kerekítve jelennek meg. Ez esetenként nagy eltérést is eredményezhet.

Segítségek az átlagszámításnál

Az átlagszámításnál három segítséget lehet igénybe venni:

• Sorba rendezett adatok: Az átlagnak többnyire középen kell lennie.
• Sorba rendezett adatok: Mediánt csak sorba rendezhető adatok között vizsgálhatunk.
• Adatok száma: Ez alapján rendezett adatokból gyors számlálással eljuthatunk a mediánhoz.

A harmadik feladatunk jellemzően az, hogy beírjuk, mennyi a kapott adatok terjedelme. Miért segítenek a sorba rendezett adatok? Azért, mert rendezett adatokkal sokkal könnyebb átlátni az adathalmazt és megtalálni a középértékeket.

A Számtani Átlag (Aritmetikai Közép): Definíció, Képlet és Példák

A matematikában az átlag alatt a számtani (aritmetikai) középet értjük. Jelölése x̄ (vagy A), és úgy találhatjuk meg, hogy az adathalmazban lévő számokat összeadjuk, majd a kapott értéket elosztjuk annyival, ahány számot összeadtunk. A számtani átlag (aritmetikai közép) kiszámításához add össze az összes értéket, majd oszd el a darabszámmal. Az átlag az összes érték összegének és darabszámának hányadosa.

Képlet: x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n

Vagy egyszerűbben:

átlag = adatok összege / adatok száma

Példa: Melbourne heti átlaghőmérséklete

Vegyük például Melbourne legmagasabb hőmérsékleteit a héten: 32, 24, 18, 19, 17, 17 és 18 fok.

1. Először is össze kell adnunk ezeket a számokat, ami 145.
2. Ezután ki kell számolnunk, hogy hány értéket adtunk össze. Mivel a hét minden napjára vettünk egy értéket, így 7 számot adtunk össze.
3. Utolsó lépésként a 145-öt elosztjuk 7-tel, aminek az eredménye 20,71432.

A feladatokban általában megadják, hogy hány tizedesjegyig kell számolni, de ha mégsem, akkor két tizedesjegyig ajánlott az osztást elvégezni. Mivel az eredeti értékek egész számok voltak (fokra kerekítve), az eredményünket is érdemes ugyanúgy kerekíteni, hogy illeszkedjen a többi adat formátumához. Ezek alapján a hét legmagasabb átlaghőmérséklete 21 fok volt. Ha megnézed a számokat, úgy érezheted, hogy ez valahogy így van, és ha ez lenne a hét bármelyik napjának legmagasabb hőmérséklete, akkor nem éreznéd szokatlannak.

Súlyozott átlag

Létezik súlyozott átlag is, melyet az átlag kalkulátor is képes kiszámítani. A súlyozott átlag képlete: x̄ = Σ(xᵢ·wᵢ) / Σwᵢ, ahol xᵢ az értékek és wᵢ a súlyok. A súlyozott átlag a tantárgyak kreditértékét vagy fontosságát veszi figyelembe. Egyetemen a kreditekkel súlyozott átlag határozza meg az ösztöndíjat.

Az átlag előnyei

Az átlagszámításnak több előnye is van. Egyrészt minden értéket figyelembe vesz és felhasznál, így biztosítva, hogy minden érték hatással volt a végeredményre. Emellett egyszerű és könnyen használható, különösen kisebb adathalmazok esetén. Nagyobb adatsorozatokkal is jól működik, de ilyenkor már érdemes táblázatkezelőt használni. Bizonyos típusú elemzésekben az átlagszámítás lehet a legalkalmasabb, mert a számított érték bármelyik két szám között lehet, így pontosabb és részletesebb képet adhat az adatainkról. Ezzel szemben a medián és a módusz csak a meglévő értékek vagy azok középértékei lehetnek. Az átlag lényegében lekerekíti a széleket olyan adatsorok esetében, amelyekben néhány kiugró érték van. Láthattad, hogy a példánkban volt egy különösen meleg nap (32 fok), de az átlag még így is 11 fokkal hűvösebb volt ennél. Ha az adatok nem tartalmaznak szélsőséges, kiugró értékeket, a számtani közép jó módszer az átlaghőmérséklet kiszámítására.

Az átlag hátrányai

Bár az átlagszámítás hasznos, hátrányai is vannak. Azáltal, hogy segített csökkenteni a kiugró értékek hatását, még mindig érzékeny ezekre, és befolyásolták az összképet. Ha azt a különösen forró napot eltávolítanánk, az átlagunk 18,83, vagy kerekítve 19 fokra esne vissza. Az átlag a numerikus adatokon kívül nem igazán hasznos. Továbbá az átlagot befolyásolja az is, hogy milyen mértékegységet használunk: ha a hőmérsékleteket Fahrenheitban számítjuk, az átlag 72 °F (22 °C) lesz, míg Celsiusban 20,7 °C. A mértékegység váltása tehát az átlag értékét is megváltoztatja, hogy helyesen tükrözze az átváltási képlettel számolt értéket.

A Módusz: A Leggyakoribb Érték Az Adathalmazban

A módusz (Mo) alatt a számhalmazban legtöbbször előforduló számot, vagyis az adatsorban legnagyobb gyakoriságú értéket értjük. Ha minden érték egyszer fordul elő, nincs módusz. Ha több érték is ugyanannyiszor fordul elő (maximálisan), akkor többmóduszú az eloszlás.

Példa: Melbourne heti hőmérsékleteinek módusza

A melbourne-i időjárásnál maradva a hét napjain 32, 24, 18, 19, 17, 17 és 18 fokot mértek. Mivel csak 7 számot vizsgálunk, a módusz gyorsan, bármiféle bonyodalom nélkül kiszámítható. A módusz 17, mivel kétszer szerepel a halmazban, míg minden más szám csak egyszer fordul elő. A módusz alapján az átlagunk tehát 17, ami 4 fokkal tér el a számtani középtől. A módusz többféle eredményt is adhat, és nem feltétlenül egymáshoz közeli számokat.

A módusz előnyei

A számtani átlaghoz hasonlóan a módusznak is vannak előnyei és hátrányai. Ami mellette szól, az az, hogy valószínűleg az egyik legkönnyebben és leggyorsabban kiszámítható statisztikai mutató, mivel csak a különböző értékeket kell megszámolni. Bár ez nagy adathalmazok esetén időigényes lehet, néhány számmal bonyolult képletek és számológép nélkül is elvégezhető. Hasznos továbbá bizonyos adathalmazok esetében, ahol a számtani átlag és medián hátrányaiból kifolyólag értelmetlenné vagy haszontalanná válnának az adatok. A móduszra kevésbé hatnak a kiugró, szélsőséges értékek is. Példánkból jól látszik, hogy nem lenne különbség, ha a 32 fokos nap 35, 40 vagy akár 50 fokos lenne, mert a módusz akkor is 17 lenne. A módusz a tendenciák feltérképezésében is hasznos. A módusz nemcsak numerikus adatokra alkalmazható, és hasznos lehet válaszok, szavazatok vagy más kategóriák, például színek és típusok keresésében is egy listából. A módusz tehát különösen jól alkalmazható a statisztikában a nem számszerű adatok esetében, amellyel meghatározhatjuk a tendenciákat az olyan adathalmazokban, amelyek több különböző pont körül csoportosulnak.

A módusz hátrányai

Ahogy a példánkból könnyedén kikövetkeztethetők a módusz előnyei, úgy a hátrányai is szemmel láthatók. A példánk alapján mindössze 2 eset kellett ahhoz, hogy a módusz 17 legyen. Ebből - tévesen - arra következtethetnénk, hogy ha a számsorban több különböző érték szerepel, akkor egy értékre gyorsan móduszként tekinthetünk, ha már csak pár alkalommal is ismétlődik. Tegyük fel, hogy az egész év legmagasabb hőmérsékleteit vesszük, és szinte minden nap más volt a hőmérséklet, kivéve néhány napot, amikor a legmagasabb hőmérséklet 40 fok volt. Ha túl sok az eltérő érték, és csak néhány szélsőséges nap (például 40 fok) volt, akkor a módusz és az átlag sem lenne különösen hasznos, ha azt akarnánk megtudni, hogy milyen ruhákat csomagoljunk. Ilyenkor érdemes lehet a mediánnal kalkulálni!

A Medián: Az Adatok Középső Értéke

A medián egy adatsor középértékét jelenti, amelynek kiszámítása nagyon egyszerű. A medián a sorba rendezett adatok középső értéke. Csak annyit kell tennünk hozzá, hogy nagyság szerint rendszerezzük a számokat, és megnézzük, hogy melyik szám található a halmaz közepén. Ez lesz a medián.

Példa: Melbourne heti hőmérsékleteinek mediánja

A melbourne-i időjárásnál maradva 7 értékünk van: 32, 24, 18, 19, 17, 17 és 18. Értékeinket sorrendbe helyezve a következőt kapjuk:

17, 17, 18, 18, 19, 24, 32

Láthatjuk, hogy a középső értékünk a negyedik szám, amellyel a medián = 18. Páros számú értékkel rendelkező adatsorok esetén a két középső érték átlagát kell venni. Ha az adatsoron belül nincs nagy eltérés, akkor a számtani átlag és a medián is közeli értékeket mutatnak.

A medián előnyei

A móduszhoz hasonlóan a mediánt sem befolyásolják különösebben a szélsőséges értékek. Még ha a két legmelegebb nap kétszer olyan forró is lenne, a mediánunk akkor is 18 lenne. Ha az adatok eloszlása nem túl egyenletes, a mediánt kell használni a nagyon magas vagy nagyon alacsony értékek hatásának csökkentésére. Míg az átlag ilyen esetben torzulhat, a medián reális képet ad az eloszlás középpontjáról. Ha tisztább képet szeretnél kapni az átlagfizetésekről, érdemes a mediánnal számolnod. A mediánt gyakran használják olyan dolgok átlagának kiszámításához, mint az átlagfizetések, a lakásárak és más olyan adatok, amelyeket a szupergazdagok befolyásolnának. Ha az ausztrálok átlagfizetését vennénk példának, akkor egy maroknyi milliárdos és milliomos (akiknek a fizetése nagyságrendekkel nagyobb, mint az átlagos ausztráloké) azt a benyomást keltené, hogy az ausztrálok a ténylegesnél sokkal többet keresnek.

A medián hátrányai

A medián azzal a problémával jár, hogy technikailag nem használja fel az összes adatot, és ha olyan átlagot szeretnénk, amely minden értéket tükröz, függetlenül attól, hogy az mennyire szélsőséges, akkor nem a medián lesz a legalkalmasabb. A medián az átlaggal szemben kevésbé pontos lehet széles tartományú adathalmazokban, mert csak a középső értéket veszi figyelembe, nem pedig az adatpontok közötti lehetséges értékeket. Ha az adatok eloszlása nagyon egyenlőtlen, a medián nagy ugrást okozhat az átlaghoz képest, mivel csak egyetlen értékre fókuszál, míg az átlag minden adatpontot figyelembe vesz. Ez nem jelentett túl nagy problémát a mi kis 7 értéket tartalmazó adathalmazunkban, de nagyobb adathalmazok esetében már más lenne a helyzet.

Összehasonlító Áttekintés: Átlag, Módusz, Medián

A számtani közép vagy átlag, a medián és a módusz a leíró statisztika alapvető mutatói, amelyek mindegyike más-más eredményt adna ugyanarra a számhalmazra, és ez így van rendjén. Valójában a különböző típusú átlagok előnye, hogy különböző típusú adatokhoz és különböző célokra használhatjuk őket. Most, hogy már tudod, mi a módusz, medián és számtani átlag, képes leszel minden helyzetben a legmegfelelőbb statisztikai mutatót alkalmazni!

További Fontos Statisztikai Mutatók: Szórás és Variancia

Van még egy fontos fogalom, amivel érdemes megismerkednünk: a szórás. Matekfeladatokban erre ritkán van szükség, viszont a statisztika helyes értelmezéséhez nélkülözhetetlen. A szórás (σ vagy D(X)) a valószínűségi változó értékeinek a várható értéktől való eltérésének a mértéke, a variancia négyzetgyöke.

Először számold ki a varianciát:

σ² = Σ(xᵢ - x̄)² / n, ahol x̄ az átlag.

Majd vond ki a négyzetgyökét:

σ = √(variancia)

A populáció szórásnál n-nel osztunk (σ), míg a minta szórásnál (n-1)-gyel (s). A minta szórás torzítatlan becslést ad a populáció szórására. Érdemes megjegyezni, hogy a tapasztalati szórás esetén (tehát amikor nem elméletben vesszük az összes lehetséges értéket, hanem ténylegesen végrehajtunk néhány mérést, és az alapján próbáljuk meg kiszámolni a várható értéket és a szórást) nem n-nel, hanem - itt a mérések számát N-nel jelölve - N-1-gyel érdemes osztani.

Példák a szórás jelentőségére

Az iskolában az osztályzatot többnyire a megszerzett jegyek átlagaként határozzák meg. Ha valakinek van 6 darab négyese, az négyest kap, ahogy az is, akinek 3 hármasa és 3 ötöse. Mindkét esetben az átlag 4, de a szórásuk eltérő, ami a jegyek ingadozását mutatja.

Van két, 10 fős munkás csoport. Az egyik csoportban 9 munkás 100 egység fizetésért dolgozik, a tizedik 1100 egységért. A másik csoportban mindenki egységesen 200 egységet kap keresetként. Az első csoport átlagfizetése (9*100 + 1*1100)/10 = 200 egység, ugyanannyi, mint a második csoportban, de az első csoportban sokkal nagyobb a fizetések szórása.

Lássuk a dobókocka szórásának a kiszámolását! A dobókocka szórása tehát közelítőleg 1,71.

Valószínűségszámítás és Várható Érték

A statisztika és a valószínűségszámítás szorosan összefügg. Az egyik gyakori feladattípus, amikor azt kérdezik, hogy valaminek mi a valószínűsége. Ennek az általános megoldása az, hogy meghatározzuk a kedvező eseteket, valamint az összes lehetséges eseteket (a valószínűségükkel súlyozva), és az eredmény a kettő hányadosa.

A másik gyakori feladattípusban arra kérdeznek rá, hogy valaminek mi a várható értéke. A várható érték jele E(X), egyéb jelölése: μ. Ez az egyes értékek valószínűségükkel súlyozott összege.

Példa: Két dobókocka szorzatának várható értéke

Például ha két szabályos dobókockával dobunk, akkor mi a várható értéke a két dobott érték szorzatának? Itt is érdemes a 36 elemi esetből kiindulni, a szorzásokat elvégezni és azokat átlagolni. Ha az első dobókockával 1-es dobtunk, akkor a szorzatok rendre 1, 2, 3, 4, 5 és 6, és ezek összege 21. Ha az első kockával 2-est dobtunk, akkor a szorzatok összege 42, ha 3-ast, akkor 63, ha 4-est, akkor 84, ha 5-öst, akkor 105, végül ha 6-ost, akkor 126. Ezek összege: 21 + 42 + 63 + 84 + 105 + 126 = 441. A várható érték tehát 441/36 = 12,25.

Alapvető fogalmak a valószínűségszámításban

• Valószínűségi változó: Tipikusan nagybetűvel jelöljük, az ábécé végéről, pl. X, Y. Diszkrét esetben ez pl. a kockadobás, folytonos esetben pl. idő.
• Eseménytér: A valószínűségi változó által felvehető lehetséges értékeinek a halmaza. Jelölése a görög ábécé végi nagybetű, pl. Ω.
• Valószínűség: Jelölése P, és zárójelben adjuk meg azt, hogy mire vonatkozik. Pl. diszkrét esetben jelölje A azt az eseményt, hogy a dobás eredménye legalább 5. Ekkor P(A) = 1/3. Folytonos esetben intervallumra adunk valószínűséget.
• Eloszlásfüggvény: Jele F(x). Azt adja meg, hogy mekkora eséllyel lesz az eredmény kisebb az adott értéknél.
• Sűrűségfüggvény: Jele f(x). Azt fejezi ki, hogy milyen értékek mentén kisebb ill. nagyobb a valószínűségi változó értéke.

A nagy számok törvényét sokan félreértik pl. úgy, hogy ha néhány kísérletben kisebb értékek jöttek ki, akkor utána nagyobb értékeknek "kell" kijönniük, hogy az átlag "közeledjen" a várható értékhez; ez természetesen nem igaz.

Diszkrét Valószínűségi Eloszlások

A valószínűségi eloszlásokat két fő csoportba oszthatjuk: diszkrét és folytonos. Először lássuk a diszkrét eloszlásokat, ahol a valószínűségi változó csak meghatározott, elkülönülő értékeket vehet fel (pl. érmedobás, kockadobás, kártya, golyók húzása):

• Bernoulli eloszlás: Ebben az esetben a valószínűségi változó kétféle értéket vehet fel, az egyiket p, a másikat 1-p eséllyel. Például: Egy urnában 10 golyó van, 7 piros és 3 kék. Véletlenszerűen kihúzunk egyet.
• Binomiális eloszlás: Ez a Bernoulli általánosítása. A műveletet n alkalommal hajtjuk végre, tehát ennek a valószínűségi változónak két paramétere van: n és p. Például: Egy pakli magyar kártyából ötször húzunk lapot visszatevéssel és újra keveréssel, és megszámoljuk, hogy hányszor húztunk makkot.
• Diszkrét egyenletes eloszlás: A felvehető értékek halmaza véges, a lehetséges értékek számok, és mindegyik elemnek ugyanakkora a valószínűsége. Például: Egy urnában 10 golyó van, 1-től 10-ig sorszámozva. Véletlenszerűen kihúzunk egyet. Másik példa: kockadobás.
• Geometriai eloszlás: Azt írja le, hányszor kell megismételni egy kísérletet, amíg az első sikeres eredmény be nem következik. Például: Egy urnában 10 golyó van, 7 piros és 3 kék. Addig húzunk véletlenszerűen visszatevéssel, amíg kéket nem húztunk.
• Hipergeometrikus eloszlás: Akkor használjuk, amikor visszatevés nélkül választunk elemeket egy véges halmazból. Például: Egy urnában 10 golyó van, 7 piros és 3 kék. Visszatevés nélkül kihúzunk 5 golyót. Képlet: $P(X=k)=\frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$.
• Poisson eloszlás: Ritka események előfordulási gyakoriságát modellezi egy adott idő- vagy térintervallumban. Például: Egy könyvkiadónál 100 oldalanként van 20 gépelési hiba. Mekkora eséllyel lesz egy adott könyv 123. oldalán gépelési hiba?

Folytonos Valószínűségi Eloszlások

A folytonos valószínűségi változók egy folytonos intervallum tetszőleges értékét felvehetik. Ilyen esetben egy adott érték valószínűsége nulla, de intervallumok valószínűségének van értelme. A sűrűségfüggvény fejezi ki azt, hogy milyen értékek mentén kisebb ill. nagyobb a valószínűségi változó értéke. Jelölése f, egészen pontosan f(x), mivel függvényről van szó.

• Exponenciális eloszlás: Két véletlen esemény között eltelt időt írja le, pl. egy call centerben két hívás között eltelt idő.
• Normális eloszlás: Ez az ún. haranggörbe eloszlás, mivel a sűrűségfüggvény haranggörbe alakot vesz fel. A normális eloszlást a várható értékkel (μ) és a szórással (σ) definiáljuk. Ennek az eloszlásnak inkább elméleti jelentősége van, mégpedig a centrális határeloszlás tétel miatt, ami kimondja, hogy adott feltételek mellett, elegendően nagy számú és független valószínűségi változó középértéke (várható értéke) jó közelítéssel normális eloszlású. Példaként vegyük az emberek testmagasságát!

A GEOMATECH Projekt és Digitális Tananyagok

A matematika tantárgyhoz tartozó linkgyűjteményt a 2020-as Nemzeti Alaptanterv kerettanterveihez, a bennük szereplő eredménycélokhoz és javasolt tevékenységekhez igazodva állítottuk össze. A matematikatanítás tevékenység alapú megközelítését szem előtt tartva, a diákok számára nehézséget jelentő, az évfolyamszám növekedésével fokozódó absztrakt gondolkodást segítő, támogató linkeket válogattunk. A segédlet összeállításánál a diákok tanulását könnyítő, a megértést és a gyakorlást szolgáló digitális feladatokon kívül a pedagógusok részére is ajánlunk tanításnál hasznosítható anyagokat.

Az alsó tagozatos linkgyűjtemény összeállításánál a hagyományos és a digitális eszközök, feladatok, tananyagok egyaránt szerepet kaptak. Ezekhez a linkekhez diákoknak adható mellékletek tartoznak. A felsorolt linkek másik része digitális feladatbankok témakörhöz illeszkedő feladatait tartalmazzák. A felső tagozatos linkgyűjteményben szöveg, interaktív digitális feladat és komplex tananyagegység található. Új ismert átadása és az elsajátított ismeretek gyakorlására alkalmas feladatok egyaránt szerepelnek.

A 7-8. évfolyamon és a középiskolában főleg a 2015. szeptember végén zárult GEOMATECH országos, kiemelt közoktatásfejlesztési projekt anyagaiból válogattunk. A GEOMATECH projekt keretében a matematika (és természettudományos tárgyak) oktatására létrehozott, az oktatás hatékonyságát javító, az órák játékosságát és élményszerűségét növelő digitális tananyagegységek, feladatok készültek, részletes módszertani segédlettel együtt. A tanegységek illeszkednek a Nemzeti alaptantervhez és tapasztalataink szerint tanórai és órán kívüli használatuk hozzájárul ahhoz, hogy a diákok jobban megértsék, ezáltal megszeressék és szívesebben tanulják a matematikát, és a jövőben javuló eredményeket mutassanak fel az érintett területeken.

A GEOMATECH egységes digitális pedagógiai és módszertani szemléletben készült digitális feladatrendszer legnagyobb erőssége, hogy az elvont matematikai feladatok láthatóvá tétele révén nyújt segítséget. A linkgyűjteményben kizárólag ingyenesen elérhető, magyar nyelvű digitális tananyag, feladat, szemléltető anyag és szöveges tanórai segédlet található. Ezek az anyagok magukban foglalhatnak olyan interaktív játékokat is, mint például a Számpiramis, Ugró iskola, Sportos mértékegységek, Hányféleképpen?, Hányféle?, Állati mozaikok, Szögek nagysága, Dominómatek, Kockából testek, Pörgettyűk, Golyók elvétele, Hiányos mondatok kiegészítése.

tags: #statisztikai #atlag #szamitas #jatekosan

Népszerű bejegyzések:

• Koordinációs gyakorlatok kézilabdában
• A videójátékok nyelvi aspektusai Balogh Andrea elemzésében
• Izgalmas kosárlabda párharcok a Magyar Kupában
• Fodor Rajmund, a kétszeres olimpiai bajnok
• Tudnivalók az új Gyertek át! évadról