A kombinatorika alapjai: Permutáció, variáció és kombináció
A kombinatorika a matematika azon területe, amely azzal foglalkozik, hogy egy halmaz elemeiből valamilyen szabály alapján kiválasszon, sorrendbe rendezzen dolgokat, valamint a dolgok megszámlálásával foglalkozik. A kombinatorika tulajdonképpen arra a kérdésre válaszol, hogy „hányféleképpen”. A valószínűségszámításnál a kedvező esetek és az összes eset számát is valamilyen, a kombinatorikában használatos képlettel, művelettel, gondolkodásmóddal kell meghatároznunk.
Alapfogalmak a kombinatorikában
A kombinatorikában két fontos szempont van: az adott dolgokat sorba rendezzük, vagy kiválasztunk közülük. A megértéséhez három alapvető fogalmat kell ismernünk: a permutációt, a variációt és a kombinációt.
- Permutáció: Amikor az összes dolgot sorba rendezzük. Például, ha 5 könyvet helyezünk el a polcon, azt 5! = 120 különböző módon tehetjük meg.
- Variáció: Amikor kiválasztunk és sorba rendezünk néhány dolgot, tehát számít a sorrendjük. Ilyen például, ha 10 gyerek közül választunk ki 3 dobogóst.
- Kombináció: Amikor úgy választunk ki dolgokat, hogy nem számít a kiválasztás sorrendje. Ilyen például egy lottósorsolás vagy egy 3 fős csoport kiválasztása egy nagyobb osztályból.
Permutációk és kombinációk oktatóanyaga
Gyakorlati alkalmazások
Kombinatorikát használunk szerencsejátéknál és sporteseményeknél. Például lóversenynél indulás előtt kiszámoljuk, hányféle sorrendben futhatnak be a lovak, vagy kiszámoljuk, hányféleképpen sorsolhatnak ki focicsapatokat egymás ellen.
| Fogalom | Sorrend számít? | Összes elem kiválasztása? |
|---|---|---|
| Permutáció | Igen | Igen |
| Variáció | Igen | Nem |
| Kombináció | Nem | Nem |
Példa kombinációra
Egy 26 fős osztályban a tanárnő 3 db 5000 Ft értékű könyvutalványt sorsol ki. Az első könyvutalványt még 26 diák kaphatja meg, a másodikat 25, a harmadikat 24. Ez összesen 26 ∙ 25 ∙ 24 = 15 600 lehetőség. De mivel a könyvutalványok ugyanolyanok, ezért ezeket más sorrendben kisorsolva is ugyanazt az eredményt kapjuk. Ezért az összes lehetőséget el kell osztani a 3 könyvutalvány sorrendjeinek számával, ami 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6. Így a megoldás 15 600 / 6 = 2600.
A mindennapi életben rengeteg olyan helyzettel találkozunk, amikor különböző lehetőségek közül kell választanunk, például ruhaválasztásnál vagy éppen PIN-kódok létrehozásánál. A kombinatorika segít rendszerezni a lehetőségeinket és pontosan meghatározni a választási lehetőségek számát.
tags: #4 #jatekos #sorrend #kombinatorika
