Játékos bevezetés a koordinátageometriába: feladatok gyerekeknek és hasznos tudnivalók
René Descartes (lat. Cartesius), a XVII. századi filozófus, természettudós és matematikus, az Értekezés a módszerről című művének egyik részében a geometria algebrai megalapozásáról, a koordináta-rendszerről szól. Ez volt a kiindulópontja a koordinátageometriának, amely a geometriai problémák megoldásának egyik leghatékonyabb módszerévé fejlődött.
A koordinátageometria - nagyon leegyszerűsítve - tehát nem más, mint a geometria művelése algebrai eszközökkel. A geometriai problémák megoldásának elengedhetetlen eszköze a szerkesztések és a számítások elvégzése. Aki egy kicsit is járatos a koordinátageometriában, az tudja, hogy mindezeket megtehetjük úgy is, hogy közben nem használunk sem vonalzót, sem körzőt, és egyetlen pontot sem rajzolunk. Az egyenesek és a körök helyett egyenleteket, a pontok helyett pedig számpárokat adunk meg. Számpárok és egyenletek helyettesítik a körzőt és a vonalzót.
A koordinátageometria alapjai játékosan, gyerekeknek
A koordinátageometria kiválóan alkalmas terület a táblás játékok hasznosításához, különösen a fiatalabb korosztály számára történő bevezetésre. Nézzük meg, hogyan tehetjük szemléletessé és érdekessé ezt a témakört!
Bevezetés a sakktábla segítségével
Bevezetésnek megfelelő a 8×8-as sakktábla. Az oszlopokat (vonalakat) betűk, a sorokat számok jelzik. Előbb megadhatunk különböző mezőket a koordinátáikkal, a gyerekek helyezzenek rá követ, vagy korongot. Azután megfordíthatjuk a dolgot: a táblák mezőire pakolt köveknek jegyezzék le a helyüket, például d7.
A harmadik fokozat lehet az, hogy valamilyen játékot játszanak ezen a 8×8-as pepita táblán, és közben leírják, jegyzetelik a lépéseiket, a játszmát. Néhány példa: Amőba, Pente, Tőtike, „potyogtatós” Amőba. Kiváló választás lehet még a Színváltósok közül leginkább a Gomullo, mert az rövidebb rendszerint, mint a Reversi, nem beszélve a többiről. A játszmák leírásának a koordináták segítségével azért is hasznos, mert újrajátszhatók a partik, ezáltal visszakereshetők a hibák. Nyilvánvaló ennek jelentősége a játékerő fejlesztésében.
A koordináta-rendszer bővítése
Második lépcsőben már ajánlott szakítani a sakktáblával, kicserélni szimpla négyzetrácsosra, aminél már nem mezőkre, hanem rácspontokra helyezzük a köveket, korongokat. Még mindig maradva a pozitív számok körében. Bővíthetjük a „repertoárt” például az Atari góval. Én gyakran használom.
A harmadik lépcső már az egész, négynegyedes koordináta-rendszert jelentheti. Ugyanezeket a fokozatokat végigjárva taníthatjuk, gyakorolhatjuk a koordináták lejegyzését, leolvasását.
Algebra alapjai: Ábrázolás a koordinátasíkon - Matekbűbájok
Három dimenzióban
Nagyobbaknál, így ötödikben már beléphetünk a 3. dimenzióba is. Erre legkiválóbb példa a Tamba, vagy Téramőba. Ennek is a - már sajnos nem kapható - felfelé korlátlanul építkező (4×4-es) változatára. Az ebben a formában magyar fejlesztés két alkalommal is nemzetközi díjat nyert (találmányi kiállítás, 1999. Genf, Brüsszel), nem véletlenül. A Tambánál már 3 koordinátával dolgozunk, azaz játszunk. Nem nehéz elképzelni, hogy mennyire fejleszti a térlátást és ennek különböző területeit ez a játék!
Sorozatok és számok vizualizálása
A jelhordozók (korongok, kövek, bábuk, kockák) a különféle formáikkal, színeikkel, méretükkel rendkívül alkalmasak sorozatok előállítására. Mindezt még kiegészíthetjük a számuk változtatásával is. A számtani sorozatokat különösen szemléletessé tehetjük szimpla kövekkel és négyzettáblával (Pl. Spangles, Gipf, Csillaghalma, Abalone vagy Yinsh táblán: speciális, háromszögmezős táblák. Háromszögszámok ugyanezeken, rácspontra téve. Rácspontok számolásával. Háromszögszámok négyzettáblán: lépcsőzetes alakzatok. Kis kockákból nagyobbak felépítése: mennyiből lehet? Van-e közöttük négyzetszám? Hatszögszámok: felfedezésük a hatszögtáblák rajzolatán - Cascades, Hex, Hexxagon, Hexade stb.). Kerületek számítása: mezőkben, vagy rácspontokban. Négyzetszámok 12×12-esen.
„Jegyezd fel táblázatba, hogy a játszma közben, ütéseid során hány korongot (követ) rabolsz! Különösen alkalmas játékok erre: „nemzetközi” Dáma, Fanorona, Reversi, Back&back, Gomullo, Hexxagon.
A koordinátageometria működése példákon keresztül
Nézzük meg néhány alapfeladatban, hogyan valósul meg a geometria és az algebra egymást támogató együttműködése.
Az egyik geometriai alapszerkesztés az volt, amelyben a szakasz felezőmerőlegesét körzővel és vonalzóval kellett megszerkesztenünk. Ez a feladat a koordinátageometriában például így fogalmazható meg: Adott egy szakasz két végpontja, az A és a B pont a koordinátáival. Írjuk fel a szakasz felezőmerőlegesének egyenletét!
A felezőmerőleges átmegy a szakasz F felezőpontján. Ennek a koordinátáit meg tudjuk adni a szakasz végpontjainak ismeretében. A felezőmerőleges az AB szakaszra merőleges, ezért például az $\overrightarrow {FB} $ (ef, bé vektor) a felezőmerőlegesnek egy normálvektora. A normálvektor koordinátáit helyvektorok segítségével tudjuk megadni. A két koordináta a négy és az egy. Ismert tehát a felezőmerőleges egyik pontja és egy normálvektora. Ezekkel már fel tudjuk írni a felezőmerőleges egyenletét is. Ezzel a feladatunkat megoldottuk.
Folytassuk a koordinátageometria működésének bemutatását! A már megadott A és B pontokhoz vegyük hozzá harmadikként a C(0; 9) (Cé, nulla, kilenc) pontot is! Adjuk meg az ABC háromszög körülírt körének egyenletét!
Tudjuk, hogy a háromszög körülírt körének középpontját két oldalfelező merőleges metszéspontjaként kaphatjuk meg. Az AB oldalhoz tartozó oldalfelező merőleges egyenletét éppen az előbb határoztuk meg. A BC oldal felezőpontja a G(1; 7) (G egy, hét) pont, a $\overrightarrow {GB} $ (GB vektor) pedig a BC oldal felezőmerőlegesének normálvektora. Ezekkel felírható a BC oldal felezőmerőlegesének egyenlete. A körülírt kör középpontját a két felezőmerőleges metszéspontja adja meg. A körülírt kör középpontjának koordinátái tehát az $O\left( { - \frac{7}{3};{\rm{ }}\frac{{16}}{3}} \right)$ (ó, mínusz hét harmad és tizenhat harmad). A körülírt kör sugarát a háromszög egyik csúcsának és a kör középpontjának távolsága adja meg. Ezt két pont távolságaként számíthatjuk ki. A kör egyenletéhez a középpontjának a koordinátáit és a sugarának a négyzetét kell ismernünk. Ezekkel felírjuk a körülírt kör egyenletét. A kitűzött feladatunkat ezzel megoldottuk.
A koordinátageometria nem csak a geometriai szerkesztéseket tudja lépésről lépésre visszaadni. Az ABC háromszög súlypontját például azonnal meg tudjuk adni, ha kiszámítjuk a csúcsok megfelelő koordinátáinak számtani közepét. Van képletünk a háromszög oldalainak kiszámítására - ezeket két-két pont távolságaként határozhatjuk meg. A vektorok skaláris szorzatának felhasználásával vagy a koszinusztétellel ezután a háromszög szögeit is kiszámíthatjuk. Emlékezz vissza, hogy mindazt a sok ismeretet, amelyet most az ABC háromszögről felsoroltunk, úgy kaptuk meg, hogy kezdetben mindössze három számpárt adtunk meg: a háromszög három csúcsának koordinátáit.
Koordinátageometria az érettségin: tudnivalók szülőknek, diákoknak
A koordinátageometria az egyik legnehezebb témakör volt a korábbi középszintű matek érettségiken. Talán azért is, mert eléggé szerteágazó, korábbi tudást igényel. Jól kell tudni a geometriai alapfogalmakat, és biztosan kell tudni egyenleteket, egyenletrendszereket megoldani. A koordinátageometria feladatokkal az eddigi matek érettségiken összességében elég sok pontot lehetett szerezni, vagy éppen veszteni. Voltak néhány pontos feladatok is ebből a témakörből az érettségi első részében. De sok összetettebb, nehezebb, több pontos koordinátageometriai feladat is megjelent a korábbi években.
Változások az érettségi követelményekben
Lényegesen csökken a vizsgán elvárt, megtanulandó ismeretanyag. Nem kell tudni például kiszámolni két vektor skalárszorzatát, és vektorokat elforgatni 90 fokkal sem kell. Ez utóbbi azért nem kellhet már, mert egyenes egyenletét nem normál- vagy irányvektorral, hanem meredekséggel kell tudni felírni. Bár tapasztalatom szerint sok iskolában még mindig inkább a vektorokkal tanítják az egyenesek egyenletének a felírását.
A pontok esetében gyakorlatilag csak a felezőpont koordinátáit kell tudni kiszámolni, nem kell ismerni a súlypont, a harmadolópont és az osztópont koordinátáinak a kiszámítási módját. A körrel kapcsolatos feladatok is lényegesen lecsökkentek, gyakorlatilag csak a kör egyenletét kell felírni. Olyan csúnya dolgokat már nem kell ismerni, hogy mikor lehet egy másodfokú kétismeretlenes egyenlet kör egyenlete.
Milyen feladattípusok várhatók az érettségin?
Véleményem szerint ez a témakör leginkább az érettségi I. részében szerepelhet, amiért néhány pontot lehet szerezni. Lehet számítani vektoros feladatra, vektorok összegének, különbségének, skalárral való szorzatának koordinátáinak kiszámítására. Ha adott egy vektor kezdő-és végpontjának koordinátái, akkor fel kell tudni írni a vektor koordinátáit, és a vektor abszolútértékét.
Kérdezhetik két pont távolságának, azaz egy szakasz hosszának a kiszámolását, és a szakasz felezőpontjának koordinátáit. Ezeket leginkább könnyű pár pontos feladatban tudom elképzelni. Mint ahogy a kör egyenletének a felírását is. Az egyenes egyenletének a felírása megint nem nehéz feladat, de a párhuzamossággal, merőlegességgel, metszéspont kiszámolásával kapcsolatban már lehet nehezebb feladat is.
Példa feladatok:
- Adott két pont: A(6; -5) és B(1; 3).
- Adott A(7; 4) és B(0; 5) pont. ABCΔ súlypontja koordinátáinak mi az összege?
- A P(8; 7) ponton átmenő v(-5; 0) irányvektorú egyenesnek mekkora a meredeksége?
- Egy kör középpontja a pont, és a kör átmegy a ponton. Mekkora a kör sugara?
- Pont része-e az egyenesnek vagy a görbének: A pont koordinátáit behelyettesítve az alakzat egyenletébe megnézzük, hogy a kapott egyenlet ellentmondásra vagy azonosságra vezet-e.
Online tananyagok és további segítség
A sok változás miatt a korábbi évek érettségi feladatai helyett egy olyan tananyagot ajánlok, amely az érettségi legújabb követelményei szerint készült. Ha ebből tanulsz, akkor nem gyakorolsz olyan feladatokat, amik már nem lesznek, de mindent megtanulsz, ami lehet a vizsgán.
Ebben a tananyagban megismerkedünk a koordináta geometria fogalmaival és számolási módszereivel. Az irány és normál vektoros egyenletek segítségével megadható lesz az egyenes egyenlete. Kiszámoljuk különböző síkidomok csúcsait és átlóinak felező pontját, végül pedig megvizsgáljuk a kör egyenletének néhány tulajdonságát.
Amennyiben további koordináta geometria feladatokat keresel vagy szeretnéd megérteni az elméletet, tekintsd meg az alábbi online videós tananyagot. Akár érettségire készülsz, akár középiskolai vagy egyetemi órák lemaradásainak pótlására keresel anyagot, itt garantáltan hasznos információkra lelsz. Az online tananyagokra 100%-os pénzvisszafizetési garanciát vállalok.
Dr. Marosvári-Korányi-Dömel: Matematika 11. Itt végre érteni fogod a koordináta geometriát, sőt ki fog derülni, hogy nagyon egyszerű. Megnézzük mik azok a vektorok, hogyan kell kiszámolni a hosszukat, két vektor szögét, aztán az is kiderül, hogyan jön ki egy szakasz felezőpontja, két pont távolsága. Elmeséljük mi az, hogy az egyenes egyenlete, egyáltalán mi értelme van ennek, nézünk sok-sok példát egyenes egyenletének a felírására. Kiszámoljuk egy pontnak és egy egyenesnek a távolságát, sőt készítünk egy egyszerű kis képletet, amivel bármelyik egyenesnek bármelyik ponttól mért távolsága szuper-egyszerűen kiszámolható. Aztán jön a kör kanonikus egyenlete, gyakoroljuk egy kicsit a teljes négyzetté kiegészítést is. Ezek után rengeteg koordinátageometria feladat kövezik körökkel, egyenesekkel, háromszögek nevezetes pontjaival, magaságponttal, a súlyponttal, a körülírt kör középpontjával.
tags: #jatekos #koordinatageometria #feladatok
