SZE MTK A3: Matematikai és Statisztikai Alapismeretek
Oldalunk cookie-kat ("sütiket") használ. Ezen fájlok információkat szolgáltatnak számunkra a felhasználó oldallátogatási szokásairól, de nem tárolnak személyes információkat. A weboldal sütiket használ.
Az alábbi cikk a Széchenyi István Egyetem (SZE) Műszaki Tudományi Kar (MTK) keretében zajló, A3 kódú kurzushoz kapcsolódó matematikai és statisztikai alapismereteket foglalja össze. Ez a tananyag átfogó betekintést nyújt a modern analízis, valószínűségszámítás és statisztika kulcsfontosságú területeibe, melyek elengedhetetlenek a mérnöki és tudományos problémák megoldásához.
Tartalomjegyzék
A kurzus 11 szekcióból áll, melyek az alábbi témaköröket fedik le:
- Mátrixok inverze
- Mátrixok LU-felbontása és egyéb mátrixfelbontások
- Legkisebb négyzetek módszere, legjobb lineáris közelítés
- Interpolációs polinomok
- Valószínűségszámítás alapok
- Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel
- Eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény
- Várható érték és szórás
- Exponenciális eloszlás és normális eloszlás
- Poisson eloszlás, binomiális eloszlás
- Hipotézisvizsgálat, próbafüggvények
Mátrixok inverze
Egy egyenletrendszer együtthatómátrixa az x-ek együtthatóiból álló mátrix. Az egyenletrendszer megoldásának egyik szuper, de koránt sem a legszuperebb módja a mátrix inverzének felhasználása.
Fontos megjegyezni, hogy ha egy egyenletrendszernek több az ismeretlenje, mint ahány egyenlete van, akkor az egyenletrendszernek nincs egyértelmű megoldása. Továbbá, ha egy egyenletrendszerben két olyan egyenlet szerepel, ahol az ismeretlenek együtthatói megegyeznek, de más az eredményük, akkor az ellentmondó egyenletrendszer, aminek nincs megoldása.
A szabadságfok a szabadváltozók száma.
Lássuk, hogyan kell kiszámolni mátrixok inverzét. Először kezdjük az n×n-es mátrixokkal, majd térjünk át olyan mátrixok inverzének kiszámítására, amelyek nem négyzetesek.
Mátrixok LU-felbontása és egyéb mátrixfelbontások
Egy mátrix LU felbontása azt jelenti, hogy a mátrixot felbontjuk egy alsó és egy felső háromszögmátrix szorzatára. Egy n×n-es mátrixnak akkor létezik LU-felbontása, ha az első n-1 főminora nem nulla.
Hogyha egy olyan mátrix LU felbontására van szükségünk, amelynek valamelyik (nem utolsó) főminora 0, akkor megtehetjük azt, hogy egy permutációs mátrix segítségével felcseréljük a sorait. Az LU-felbontás módszere nem négyzetes mátrixokra ugyanolyan, mint eddig, a Gauss elimináció segítségével történik.
Léteznek más típusú mátrixfelbontások is. Ez tulajdonképpen egy olyan LU-felbontás, ahol az U mátrix az L-nek a transzponáltja. A QR-felbontás azt jelenti, hogy egy mátrixot egy ortogonális és egy felsőháromszögmátrix szorzatára bontjuk.
Lineáris algebra, négyzetes mátrix LU-felbontása (feladatmegoldás Microsoft Office Excel-ben)
Legkisebb négyzetek módszere, legjobb lineáris közelítés
A Gauss-féle normálegyenletek segítségével megkereshetjük a pontokra legjobban illeszkedő egyenes egyenletét. Ez a módszer egy túlhatározott egyenletrendszerből optimális megoldást nyerhet. Ha egy egyenletrendszernek nincs megoldása, akkor az optimális megoldás megadja a legjobb közelítést. A Gauss-féle normálegyenlet egyenletrendszerek megoldásainak közelítéséhez használható módszer.
Fontos tudni, hogy egy $\underline{b}$ vektort nem csak merőlegesen vetíthetjük, hanem ferdén is. Viszont egyedül a merőleges vetítés rendelkezik a legjobb közelítés tulajdonságával.
Interpolációs polinomok
Az interpoláció egy közelítő módszer, amely a függvény ismert értékei alapján ad közelítést a nem ismert értékeire. Ennek hibájának a megbecsléséhez van egy remek képlet.
Különböző interpolációs polinomok léteznek:
- A Lagrange-féle interpolációs polinom megadja azt a polinomot, amely x₁-ben y₁-et, x₂-ben y₂-t és így tovább xn-ben yn értéket vesz föl.
- A Newton interpoláció első lépése, hogy elkészítjük az úgynevezett Newton-együtthatókat. Ezt követően ezek segítségével állítjuk elő a polinomot.
- A Hermite interpoláció abban különbözik a Lagrange és Newton féle interpolációktól, hogy az x₁, x₂, ..., xn helyeken nem csak az eredeti polinom-függvény értékeit, hanem a deriváltjait is nézzük.
Valószínűségszámítás alapok
A valószínűségszámítás alapvető fogalmai közé tartoznak az események. Eseményeknek nevezzük a valószínűségi kísérlet során bekövetkező lehetséges kimeneteleket.
A valószínűség kiszámításának klasszikus modellje az, hogy megszámoljuk, hány elemi eseményből áll a vizsgált esemény, és ezt elosztjuk az összes elemi esemény számával.
Lineáris algebra, négyzetes mátrix LU-felbontása (feladatmegoldás Microsoft Office Excel-ben)
Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel
A mintavételi módszerek alapvetően befolyásolják a felhasználandó eloszlást, különösen ha valószínűségek vannak megadva a szövegben.
- A visszatevéses mintavételhez kapcsolódó eloszlás a binomiális eloszlás.
- A visszatevés nélküli mintavételhez kapcsolódó eloszlás a hipergeometriai eloszlás.
Eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény
A valószínűségi változókat típusuk szerint két fő kategóriába sorolhatjuk:
- Folytonos valószínűségi változók: Azok, amik folytonos mennyiségeket mérnek, ilyen például az idő vagy a távolság.
- Diszkrét valószínűségi változók: Azok, amik megszámlálhatóan sok értéket vesznek fel.
Az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F(x), ami azt jelenti, hogy F(x)=P(x<X). Vagyis minden x számhoz hozzárendeli annak a valószínűségét, hogy X<x. Az eloszlásfüggvény határértéke mínusz végtelenben 0, plusz végtelenben 1, monoton nő és balról folytonos.
Az eloszlásfüggvény és a sűrűségfüggvény között szoros összefüggés van: az X valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvényéből úgy kapjuk meg az f(x) sűrűségfüggvényét, hogy az F(x) eloszlásfüggvényt deriváljuk. Fordítva pedig integrálni kell. A sűrűségfüggvény integrálja mínusz végtelentől plusz végtelenig 1, és nem negatív.
Lineáris algebra, négyzetes mátrix LU-felbontása (feladatmegoldás Microsoft Office Excel-ben)
Várható érték és szórás
A várható érték a valószínűségi változó értékeinek valószínűségekkel súlyozott átlaga. Folytonos valószínűségi változók esetén a várható értéket egy integrálás segítségével számítjuk.
A szórás azt mutatja meg, hogy a várható érték körül milyen nagy ingadozásra számíthatunk. Folytonos valószínűségi változó esetén a szórást ugyanúgy kell számolni, mint diszkrét valószínűségi változó esetén.
Exponenciális eloszlás és normális eloszlás
Az exponenciális eloszlás egy folytonos eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének valószínűsége valamely intervallumon konstans. Ez az eloszlás gyakran alkalmazható az eltelt idők és a távolságok modellezésére.
A normális eloszlás, más néven Gauss-eloszlás, a mennyiségek eloszlásának egyik leggyakrabban előforduló formája a statisztikában, és számos természeti jelenség modellezésére alkalmas.
Lineáris algebra, négyzetes mátrix LU-felbontása (feladatmegoldás Microsoft Office Excel-ben)
Poisson eloszlás, binomiális eloszlás
Ebben a szekcióban további fontos diszkrét eloszlásokat vizsgálunk meg, melyek gyakran előfordulnak a valószínűségszámításban és a statisztikában:
- A binomiális eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének a valószínűsége p és egymástól függetlenül elvégzünk n darab kísérletet, ahol a kísérletek mindegyikében az esemény vagy bekövetkezik, vagy nem. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy az esemény éppen k-szor következik be. (Lásd még a visszatevéses mintavételt.)
- A hipergeometriai eloszlás szintén egy diszkrét eloszlás, ahol N darab elem közül kiválasztunk n darab elemet visszatevés nélkül. Az összes elem között K darab selejtes található. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy a kiválasztott elemek között éppen k darab selejtes van. (Lásd még a visszatevés nélküli mintavételt.)
- A Poisson eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének a várható előfordulása lambda darab. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy az esemény éppen k-szor következik be.
Hipotézisvizsgálat, próbafüggvények
A hipotézisvizsgálat egy statisztikai módszer, amellyel egy sokaságra vonatkozó állítások (hipotézisek) igazságtartalmát ellenőrizzük mintavételi adatok alapján.
A hipotézisvizsgálat során kulcsfontosságú fogalmak:
- Az elfogadási tartomány az a tartomány, ahová ha a próba értéke kerül, akkor a nullhipotézist elfogadjuk.
- A kritikus tartomány az a tartomány, ahová ha a próba értéke kerül, akkor a nullhipotézist elvetjük.
- A szignifikanciaszint a hibás döntés valószínűsége, azaz annak a valószínűsége, hogy elvetjük a nullhipotézist, holott az igaz.
A hipotézisvizsgálat lépései a következők: a hipotézis megfogalmazása, a próbafüggvény kiválasztása, a szignifikanciaszint és kritikus tartomány meghatározása, mintavétel, majd a döntés meghozatala.
Különböző próbafüggvényeket és eljárásokat alkalmazunk a vizsgált sokaság és a felállított nullhipotézis függvényében. Az alábbi táblázat néhány gyakori hipotézisvizsgálati forgatókönyvet mutat be:
| Vizsgálat tárgya | Feltételek | Nullhipotézis ($H_0$) / Vizsgálat típusa |
|---|---|---|
| Sokaság átlaga | Normális eloszlású sokaság, ismert szórás ($\sigma$), n elemszámú minta | A sokaság átlagára vonatkozik |
| Sokaság átlaga | Normális eloszlású sokaság, ismeretlen szórás, n elemszámú minta | A sokaság átlagára vonatkozik |
| Sokaság átlaga | Tetszőleges eloszlású sokaság, ismeretlen szórás, nagy n elemszámú minta | A sokaság átlagára vonatkozik |
| Sokasági arány | Tetszőleges eloszlású sokaság, nagy n elemszámú minta | A sokasági arányra vonatkozik |
| Sokasági szórás | Normális eloszlású sokaság, n elemszámú minta | A sokasági szórásra vonatkozik |
| Sokaság eloszlása | A sokaság eloszlására irányuló vizsgálat | |
| Két ismérv függetlensége | A két ismérv független. ($H_1$: a két ismérv közti kapcsolat sztochasztikus vagy függvényszerű.) | |
| Két sokaság eloszlásának egyezősége | A két sokaságban az eloszlás egyező. ($H_1$: a két eloszlás nem egyező.) | |
| Két sokaság várható értékének összehasonlítása | Mindkét sokaság normális eloszlású, szórásaik $\sigma_X$ és $\sigma_Y$ | |
| Két sokaság várható értékének összehasonlítása | Mindkét sokaság normális eloszlású és szórásaik egyformák | |
| Két sokaság várható értékének összehasonlítása | Mindkét sokaság eloszlása és szórása nem ismert, mindkettő szórása véges, és mindkét minta elemszáma elég nagy | |
| Két sokaság szórásának összehasonlítása | Mindkét sokaság normális eloszlású | $H_0$: $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ |
| Több sokaság várható értékének összehasonlítása | Mindegyik sokaság normális eloszlású és azonos szórású |
Lineáris algebra, négyzetes mátrix LU-felbontása (feladatmegoldás Microsoft Office Excel-ben)
tags: #sze #mtk #a3 #szovegmezo
