A kombinatorika és a kiválasztás művészete a játékos matematikában
Ki nem ábrándozott még arról, hogy megnyeri a lottó ötöst? Te mire költenéd? Jó kocsi, luxusutazás, lakás a Rózsadombon vagy tengerparti nyaraló… Tanulhatnál akár Amerikában is. A lehetőségek száma gyakran hatalmas, és éppen ezekkel a lehetőségekkel foglalkozik a matematika egyik izgalmas ága, a kombinatorika.
A kombinatorika a véges halmaz elemeinek csoportosításával, kiválasztásával, sorba tételével foglalkozó matematikai ág.
A kombinációk alapjai: Hányféleképpen választhatunk?
A kombinatorika egyik központi fogalma a kombináció, amely azt vizsgálja, hányféleképpen lehet kiválasztani elemeket egy halmazból anélkül, hogy a kiválasztás sorrendje számítana. Vegyük például a lottót.
Az ötös lottó példája
Számoljuk ki, hány szelvényt kellene kitölteni ahhoz, hogy biztosan legyen ötösünk! Másképp fogalmazva: hányféleképpen lehet kitölteni az ötös lottó szelvényét? 90 szám közül választunk ki ötöt. Az első x-et bárhová tehetjük, ez 90 lehetőség. A második kiválasztott szám 89-féle lehet, mert kétszer ugyanazt nem lehet megjelölni. A harmadik szám 88-féle lehet, a negyedik 87-féle, az ötödik 86-féle. Ez eddig $90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 96$ lehetőség. Azt is figyelembe kell venni, hogy a sorrend nem számít: mindegy, hogy először a kettest választjuk ki, aztán a 17-est vagy fordítva, hiszen a végén úgyis növekvő sorrendbe teszik a nyerőszámokat! Emiatt az előbbi szorzatot el kell osztani annyival, ahányféleképpen az öt kiválasztott számot sorba lehet állítani. Öt különböző számot $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5!$ (5 faktoriális)-féleképpen tudunk sorba rendezni. Osszuk el az előbbi számot $5! = 120$-szal!
Azt kaptuk, hogy az ötös lottószelvényt csaknem 44 millióféleképpen lehet kitölteni. Egy játék 225 Ft-ba kerül, az összes kitöltés közel 10 milliárd Ft lenne. Ennyit pedig még sosem lehetett nyerni, tehát ráfizetéses lenne ez a projekt.
A kombinációk általános képlete és jelölése
Az előbbi feladatban kiszámoltuk, hogy hányféleképpen lehet kiválasztani 90 számból 5-öt úgy, hogy a sorrend nem számít. Az eredményt felírhatjuk faktoriálisok segítségével is. A $90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 96$ szorzat tekinthető 90! (90 faktoriális) és 85! (85 faktoriális) hányadosának. Ezt osztottuk 5!-sal (5 faktoriálissal). Erre a hányadosra egy új jelölést vezetünk be, amelyet úgy olvasunk, hogy 90 alatt az 5.
Így az n elem k-ad osztályú kombinációját kapjuk. n elem k-ad osztályú kombinációinak a száma $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right)$ (n alatt a k). Jelölése: $C_n^k$ (céenká).
Kombinációk a gyakorlatban: További példák
Focicsapat összeállítása
A kombinációk elve számos hétköznapi helyzetben is felmerül. Gondoljunk például egy focicsapat összeállítására. Az egyik város focicsapatában hatan játszanak támadó poszton is. Hányféleképpen tud kiválasztani közülük hármat az edző a következő mérkőzésre? 6 ember közül kell kiválasztani hármat, a sorrend nem számít. Elsőként bárkit kijelölhet, ez 6 lehetőség. A másodikat 5 játékos közül választja ki a tréner, a harmadikat pedig 4 közül. Ez $6 \cdot 5 \cdot 4$ lehetőség. Nem számít, hogy kit nevezett meg először, másodszor, harmadszor, ezért osztani kell a 3 csatár sorrendjével, 3!-sal. A hányados rövidebb alakja $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 3 \end{array}} \right)$ (6 alatt a 3). Az eredmény 20, 20-féleképpen lehet kiválasztani a 3 csatárt.
Vízitúra kenukba szállás
Egy hattagú baráti társaság vízitúrázni indul. Egy piros, egy kék és egy fehér kenut bérelnek, mindhárom kétszemélyes. Hányféleképpen foglalhatják el a hajókat, ha a kenun belüli elhelyezkedésnek nincs jelentősége?
Kezdjük a piros kenuval! 6 emberből kiválasztunk kettőt, akik ebben foglalnak helyet. A sorrendjük nem számít, tehát 6 elem másodosztályú kombinációit kell kiszámolni. Ez pedig $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 2 \end{array}} \right)$ (6 alatt a 2). A kék kenuba a 4 fő közül ketten ülhetnek be, a lehetőségek száma $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2 \end{array}} \right)$ (4 alatt a 2). A megmaradt két ember beül a fehér hajóba, ezt csak egyféleképpen tehetik meg. A kapott számokat összeszorozzuk, az eredmény 15-ször 6-szor 1, egyenlő 90. 90-féleképpen ülhetnek be a kenukba.
Könnyű kombinációk
Hogyan számoljunk kombinációkat?
A kombinációk számát a legtöbb számológéppel közvetlenül ki lehet számolni. Keresd meg rajta az nCr gombot! Gyakran, mint a képen is, egy billentyű második funkciója a kombináció-számítás $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 2 \end{array}} \right)$. meghatározását látod az ábrán. Néhány számológépen nincs ilyen művelet, ebben az esetben $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right)$ definíciója alapján tudjuk kiszámolni az eredményt. Figyelj a műveletek sorrendjére! Ha a Te gépeden más a billentyűk sorrendje, olvasd el figyelmesen a használati utasítást!
További kombinatorikai feladatok és alkalmazások
A hatos lottó
Nézzük meg azt is, hogy a hatos lottószelvényt hányféleképpen lehet kitölteni! 45 számból kell kiválasztani 6-ot a sorrend figyelembe vétele nélkül. Ez 45 elem 6-od osztályú kombinációja, $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 45\\ 6 \end{array}} \right)$. (ejtsd:45 alatt a 6) Az eredmény 8 145 060. Akármelyik lottó kitöltési lehetőségeit nézzük is, mindig óriási számokat kapunk. Lehet álmodozni a nyereményről, de sok pénzt nem szabad rákölteni, mert a nyerés esélye nagyon kicsi.
Diákcsoportok összeállítása
A kombinatorika nem csak a lottóban fontos, számos más helyzetben is segítségünkre van a lehetőségek számának meghatározásában. A szóbeli érettségi vizsgán az osztály 22 tanulója közül az első csoportba öten kerülnek. Hányféleképpen lehet a 22 tanulóból véletlenszerűen kiválasztani az első csoportba tartozókat? Ez $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 22\\ 5 \end{array}} \right)$ (22 alatt az 5) módon történhet.
Edzőtábor kiválasztás
A focira jelentkezett 19 tanulóból öten vehetnek részt egy edzőtáborban. Igazolja, hogy több, mint 10 000-féleképpen lehet kiválasztani az öt tanulót! Ez egy $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 19\\ 5 \end{array}} \right)$ (19 alatt az 5) kombinációt jelent.
Gyümölcsválasztás
A piacon az egyik zöldségespultnál hétféle gyümölcs kapható. Kati ezekből háromfélét vesz, mindegyikből 1-1 kilót. Hányféle összeállításban választhat Kati? (A választ egyetlen számmal adja meg!) Ez $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7\\ 3 \end{array}} \right)$ (7 alatt a 3) módon lehetséges.
Interjúalanyok kiválasztása
Egy újságíró két tanulóval szeretne interjút készíteni. Ezért a biológiát emelt szinten tanuló 50 diák névsorából véletlenszerűen kiválaszt két nevet. Az 50 diák közül két interjúalany kiválasztása $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 50\\ 2 \end{array}} \right)$ (50 alatt a 2) féleképpen történhet. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az egyik kiválasztott tanuló tizenegyedikes, a másik pedig tizenkettedikes?
Vízilabda csapat sajtófogadásra
Egy sajtófogadásra a csapat két 25 éves, két 28 éves és egy 20 évesnél fiatalabb játékosát sorsolják ki. Hányféle kimenetele lehet a sorsolásnak?
A vízilabdacsapat játékosainak életkor szerinti megoszlását az alábbi táblázat mutatja:
| Életkor (év) | Játékosok száma (fő) |
|---|---|
| 19 | 1 |
| 20 | 1 |
| 21 | 3 |
| 22 | 2 |
| 23 | 3 |
| 24 | 1 |
| 25 | 4 |
| 26 | 3 |
| 27 | 1 |
| 28 | 3 |
A sorsolás kimenetelének meghatározásához a következőképpen számolunk: a két 25 éves játékost 4 főből $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2 \end{array}} \right)$ (4 alatt a 2) módon lehet kiválasztani. A két 28 éves játékost 3 főből $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 2 \end{array}} \right)$ (3 alatt a 2) módon. Az egy 20 évesnél fiatalabb játékost pedig 1 főből $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}} \right)$ (1 alatt az 1) módon. Ezen lehetőségek szorzata adja a teljes kimenetelt.
Focibajnokság mérkőzései
Az iskolák közötti labdarúgó- bajnokságra jelentkezett 6 csapat. Hány mérkőzés van még hátra, ha minden csapat minden csapattal egy mérkőzést játszik a bajnokságban? Ha minden csapat minden csapattal pontosan egy mérkőzést játszik, és 6 csapat van, akkor a lejátszandó mérkőzések száma 6 elem másodosztályú kombinációja, vagyis $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 2 \end{array}} \right)$ (6 alatt a 2).
Októberben az iskolában hat osztály nevezett be a focibajnokságra egy-egy csapattal. Hány mérkőzést kell lejátszani, ha mindenki mindenkivel játszik, és szerveznek visszavágókat is? Ekkor $6 \cdot 5 = 30$ mérkőzésre kerül sor.
tags: #jatekos #matematika #kombinatorika
